如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)（），直線:，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，是線段與軸的交點(diǎn), 過(guò)、分別作直線、，使， .

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）在直線上任取一點(diǎn)做曲線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為、，求證：直線恒過(guò)一定點(diǎn)；
(3)對(duì)（2）求證：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

(1)．（2）利用導(dǎo)數(shù)法求出直線AB的方程，然后再利用直線橫過(guò)定點(diǎn)知識(shí)解決.（3）用坐標(biāo)表示出斜率，然后再利用等差中項(xiàng)的知識(shí)證明即可

解析試題分析：(1)依題意知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且⊥，
∴是線段的垂直平分線．∴．
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：．
（2）設(shè)，兩切點(diǎn)為， 
由得，求導(dǎo)得．
∴兩條切線方程為 ① 
②                 
對(duì)于方程①，代入點(diǎn)得，，又
∴整理得：
同理對(duì)方程②有
即為方程的兩根.
∴  ③                            
設(shè)直線的斜率為，
所以直線的方程為，展開(kāi)得：
，代入③得：
∴直線恒過(guò)定點(diǎn).                            
(3) 證明：由（2）的結(jié)論，設(shè)， ， 
且有，  
∴                  
∴
=  
又∵，所以
即直線的斜率倒數(shù)成等差數(shù)列.  
考點(diǎn)：本題考查了拋物線與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的綜合考查
點(diǎn)評(píng)：解答拋物線綜合題時(shí)，應(yīng)根據(jù)其幾何特征熟練的轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（如方程、函數(shù)），再結(jié)合代數(shù)方法解答，這就要學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求、弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理綜合思考，重視對(duì)稱思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知兩點(diǎn)F1(-1,0)及F2(1,0),點(diǎn)P在以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求橢圓C的方程;
（2）如圖,動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且F1M⊥l, F2N⊥l.求四邊形F1MNF2面積S的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,一水渠的橫斷面是拋物線形，O是拋物線的頂點(diǎn),口寬EF=4米，高3米建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線方程.現(xiàn)將水渠橫斷面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不變，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大時(shí)，所挖的土最少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，且．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線與曲線相切于點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)此定點(diǎn)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓E：（）離心率為，上頂點(diǎn)M，右頂點(diǎn)N，直線MN與圓相切，斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)橢圓E在正半軸的焦點(diǎn)F，且交E于A、B不同兩點(diǎn).
（1）求E的方程；
（2）若點(diǎn)G（m，0）且| GA|＝| GB|，，求m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線方程為，直線與軸交于點(diǎn)，、分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，已知，且．
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求三角形面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0，2)，與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N  (點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），且。橢圓D：的焦距等于，且過(guò)點(diǎn)

( I ) 求圓C和橢圓D的方程；
(Ⅱ) 若過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線與橢圓D交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)N在以弦AB為直徑的圓的外部，求直線斜率的范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）記△GFD的面積為S1，△OED（O為原點(diǎn)）的面積為S2．
試問(wèn)：是否存在直線AB，使得S1=S2？說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。若分別過(guò)橢圓的左右焦點(diǎn)、的動(dòng)直線、相交于P點(diǎn)，與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率、、、滿足．

（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)M、N，使得為定值．若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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