Question

5．過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的右焦點(diǎn)且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線被橢圓C截得的弦長為$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

Answer 1

分析 由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，可得右焦點(diǎn)F（2，0）．設(shè)此直線的與橢圓相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程為：y=$\sqrt{3}$（x-2）．與橢圓方程聯(lián)立化為：5x²-18x+15=0，利用|AB|=$\sqrt{4[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，可得右焦點(diǎn)F（2，0）．
設(shè)此直線的與橢圓相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線方程為：y=$\sqrt{3}$（x-2）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-2）}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，
化為：5x²-18x+15=0，
∴x₁+x₂=$\frac{18}{5}$，x₁x₂=3．
∴|AB|=$\sqrt{4[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$2\sqrt{（\frac{18}{5}）^{2}-4×3}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．