Question

如圖已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn)A（0，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)．求證：直線MN恒過定點(diǎn)P（0，-）．

Answer 1

解：（1）由題意知，e=，b=1，a²-c²=1，…（4分）
解得a=2，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．…（6分）
（2）設(shè)直線l₁的方程為y=kx+1，
由方程組，得（4k²+1）x²+8kx=0，…（8分）
解得，x₂=0，所以，y_M=，…（10分）
同理可得，，…（12分）
==，
==，…（14分）
所以M，N，P三點(diǎn)共線，故直線MN恒過定點(diǎn)P（0，-）．…（16分）
分析：（1）由題意知，e=，b=1，a²-c²=1，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l₁的方程為y=kx+1，由方程組，得（4k²+1）x²+8kx=0，利用題設(shè)條件推導(dǎo)出直線MP與直線NP的斜率相等，從而得到M，N，P三點(diǎn)共線，由此證明直線MN恒過定點(diǎn)P（0，-）．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過定點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．