Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n≠0，a₁=

1

3

，a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：(

1

an

)是等差數(shù)列；
（2）證明：a₁²+a₂²+…+a_n²＜

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）通過(guò)已知條件推出

1

an

-

1

an-1

=2，即可判斷(

1

an

)是等差數(shù)列；
（2）利用放縮法以及裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和，即可證明a₁²+a₂²+…+a_n²＜

1

4

．

解答： 證明：（1）∵a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2）
∴

1

an

-

1

an-1

=2（n≥2）
∴{

1

an

}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．…（6分）
（2）由（1）知：

1

an

=3+(n-1)•2=2n+1
∴an=

1

2n+1

…（8分）
∴an2=

1

(2n+1)2

＜

1

4n2+4n

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴a12+a22+…+an2＜

1

4

(

1

1

-

1

2

)+

1

4

(

1

2

-

1

3

)+…+

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)＜

1

4

(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，等差數(shù)列的判斷，放縮法以及裂項(xiàng)法的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．