Question

16．設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓C上的點(diǎn)A（$\sqrt{6}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于6，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：2a=6，a=3．將點(diǎn)A（$\sqrt{6}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）代入橢圓方程：$\frac{6}{9}+\frac{8}{3^{2}}=1$，解得：b²=8，則c²=a²-b²=1，即可求得橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點(diǎn)Q（x，y）滿足x=$\frac{{x}_{1}-1}{2}$，y=$\frac{{y}_{1}}{2}$；求得x₁=2x+1，y₁=2y，代入橢圓方程，即可求得線段F₁K的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)在x軸上，由A（$\sqrt{6}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于6，
則2a=6，即a=3．
又點(diǎn)A（$\sqrt{6}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）在橢圓上，代入橢圓方程：$\frac{6}{9}+\frac{8}{3^{2}}=1$，解得：b²=8，
于是c²=a²-b²=1．…（4分）
∴橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$，…（5分）
焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）；…（6分）
（Ⅱ）設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點(diǎn)Q（x，y）滿足x=$\frac{{x}_{1}-1}{2}$，y=$\frac{{y}_{1}}{2}$；
即x₁=2x+1，y₁=2y．…（8分）
代入橢圓方程：$\frac{（2x+1）^{2}}{9}+\frac{（2y）^{2}}{8}=1$，整理得：$\frac{（2x+1）^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
∴所求的軌跡方程$\frac{（2x+1）^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查軌跡方程的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．