Question

過(guò)雙曲線(xiàn)x²-

y2

3

=1的左焦點(diǎn)F₁作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，記|AB|=m，若從區(qū)間（2，8）中任取一個(gè)實(shí)數(shù)為m，則這樣的直線(xiàn)l恰好能作兩條的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：雙曲線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)一定有兩條直線(xiàn)使得交點(diǎn)之間的距離等于m，當(dāng)直線(xiàn)與實(shí)軸垂直時(shí)，做出直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交點(diǎn)的縱標(biāo)，得到也是一條長(zhǎng)度等于m的線(xiàn)段．

解答： 解：雙曲線(xiàn)為：x²-

y2

3

=1，則a=1，b=

3

；
若AB只與雙曲線(xiàn)右支相交時(shí)，|AB|的最小距離是通徑，長(zhǎng)度為

2b2

a

=6，
此時(shí)只有一條直線(xiàn)符合條件；
若AB與雙曲線(xiàn)的兩支都相交時(shí)，此時(shí)|AB|的最小距離是實(shí)軸兩頂點(diǎn)的距離，長(zhǎng)度為2a=2，距離無(wú)最大值，
結(jié)合雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可得此時(shí)有2條直線(xiàn)符合條件；
綜合可得，有3條直線(xiàn)符合條件；
故直線(xiàn)l恰好能作兩條的概率為：

2

3

．
故答案為：

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)之間的關(guān)系問(wèn)題，幾何概型的概率計(jì)算，以及思路是先求得試驗(yàn)的全部構(gòu)成的長(zhǎng)度和構(gòu)成事件的區(qū)域長(zhǎng)度，再求比值，本題解題的關(guān)鍵是看清楚當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在，即直線(xiàn)與實(shí)軸垂直時(shí)，要驗(yàn)證線(xiàn)段的長(zhǎng)度，屬于中檔題．