Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+m．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間、對稱軸、對稱中心；
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為2，求此時(shí)函數(shù)f（x）的最大值，并指出x取何值時(shí)函數(shù)f（x）取到最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間、對稱軸、對稱中心；
（2）根據(jù)，函數(shù)f（x）的最小值為2，求出m，即可求出函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+m=

3

2

sin?2x+

1+cos?2x

2

+m=

3

2

sin?2x+

1

2

cos?2x+

1

2

+m=sin?(2x+

π

6

)+

1

2

+m，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=-

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，即函數(shù)的增區(qū)間為（-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ），
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，即函數(shù)的減區(qū)間為（

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ），
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，得x=

π

6

+

kπ

2

，即對稱軸為x=

π

6

+

kπ

2

，
由2x+

π

6

=kπ，得x=-

π

12

+

kπ

2

，即對稱中心為（-

π

12

+

kπ

2

，0），k∈Z．
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]時(shí)，則-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，則當(dāng)2x+

π

6

=-

π

6

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為sin（-

π

6

）+

1

2

+m=2，
即-

1

2

+

1

2

+m=2，解得m=2，
此時(shí)當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，即x=

π

6

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為sin

π

2

+

1

2

+m=1+

1

2

+2=

7

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角化簡公式將函數(shù)化簡是解決本題 的關(guān)鍵．