若不等式（x+y）（
a
x
+
4
y
）≥16對任意正實數(shù)x、y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為
 
．
考點：基本不等式
專題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：不等式（x+y）（
a
x
+
4
y
）≥16對任意正實數(shù)x、y恒成立，可知：16≤[(x+y)(
a
x
+
4
y
)]min．令f（x）=（x+y）（
a
x
+
4
y
），（a＞0）．利用基本不等式即可得出其最小值．
解答： 解：∵不等式（x+y）（
a
x
+
4
y
）≥16對任意正實數(shù)x、y恒成立，
∴16≤[(x+y)(
a
x
+
4
y
)]min．
令f（x）=（x+y）（
a
x
+
4
y
），（a＞0）．
則f（x）=a+4+
ay
x
+
4x
y
≥a+4+2
ay
x
•
4x
y
=a+4+4
a
．當(dāng)且僅當(dāng)
x
y
=
a
2
取等號．
∴a+4
a
+4=16，解得a=4．
因此正實數(shù)a的最小值為4．
故答案為：4．
點評：本題考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
e2x+mex，    x∈[-ln2，0]
lnx，x∈(0，+∞)
（e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=
1
2
ax2+bx．
（Ⅰ）若a=-2時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-ln2，0]時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)x＞0時，設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C1與函數(shù)g（x）的圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，問是否存在點R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C的圓心C（3，1），被x軸截得的弦長為4
2

（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，且CA⊥CB，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=x+
3
x-2
（x＞2）的最小值以及相應(yīng)的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=4，a5+a7=14，{an}的前n項和為Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn=
1
an2-1
（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知cos（
π
4
+x）=
1
2
，則
sinx
1-tanx
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于集合A={a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），定義集合S={x|x=ai+aj，1≤i＜j≤n}，記集合S中的元素個數(shù)為S（A）．若a1，a2，…，an是公差大于零的等差數(shù)列，則S（A）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若（1-
1
x2
）n（n∈N*，n＞1）的展開式中x-4的系數(shù)為an，則
lim
n→∞
（
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=4，a2+a3=8，則a5=
 
．

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同步練習(xí)冊答案