Question

已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓，焦距為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于兩點(diǎn).

①證明：點(diǎn)到直線的距離為定值，并求出這個(gè)定值；

②求.

Answer 1

（1）；（2）①;②.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意知：聯(lián)立解得的值，進(jìn)而求得橢圓的方程；（2）①根據(jù)題意對(duì)直線按斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)斜率不存在時(shí)，為等腰直角三角形，很易得到點(diǎn)到直線的距離；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立橢圓方程消去，根據(jù)韋達(dá)定理得到和代入即：得到和的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式，得到點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而得到兩種情況下，點(diǎn)到直線的距離為定值;②因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062206004577448771/SYS201506220600515871279527_DA/SYS201506220600515871279527_DA.020.png">，及勾股定理,再利用基本不等式，得到的最小值.

試題解析：（1）

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）（�。┰O(shè),

① 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則為等腰直角三角形，不妨設(shè)直線OA：

將代入，解得

所以點(diǎn)到直線的距離為；

② 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓

聯(lián)立消去得：

，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062206004577448771/SYS201506220600515871279527_DA/SYS201506220600515871279527_DA.037.png">，所以，

即

所以，整理得，

所以點(diǎn)到直線的距離

綜上可知點(diǎn)到直線的距離為定值

（ⅱ）在中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062206004577448771/SYS201506220600515871279527_DA/SYS201506220600515871279527_DA.020.png">

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062206004577448771/SYS201506220600515871279527_DA/SYS201506220600515871279527_DA.046.png">≤，所以≥

所以≥，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值是

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.韋達(dá)定理.