Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2，且x∈（0，1）時，f（x）=．
（1）求f（x）在-1，1上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

解：（1）當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1）．
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）==-．
又f（0）=-f（-0）=-f（0），∴f（0）=0，
f（-1）=f（-1+2）=f（1），f（-1）=-f（1）．
∴f（1）=-f（-1）=f（-1）=0．
∴f（x）=
（2）f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
證明如下：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=-=，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁＜2^x₂，∴2^x₂-2^x₁＞0．
又當0＜x₁，x₂＜1時，2^x₁×2^x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
分析：（1）先設(shè)x∈（-1，0），則-x∈（0，1），利用已知函數(shù)解析式及函數(shù)是奇函數(shù)，可得函數(shù)解析式，再求出x=0或x=±1時的解析式，即可得到結(jié)論；
（2）利用單調(diào)性的證題步驟，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．