Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程是，等邊的頂點(diǎn)都在上，且點(diǎn)，，按照逆時(shí)針方向排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.

（Ⅰ）求點(diǎn)，，的直角坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)為上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由點(diǎn)的極坐標(biāo)和，，的排列順序，得到點(diǎn)和點(diǎn)的極坐標(biāo)，再由求出，，的直角坐標(biāo)即可；

（Ⅱ）由點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)可得直線的方程，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)到直線距離公式表示出點(diǎn)到直線的距離，再由輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)得到的取值范圍即可.

（Ⅰ）由題意，等邊的頂點(diǎn)都在上，

且點(diǎn)，，按照逆時(shí)針方向排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，

所以點(diǎn)的極坐標(biāo)，點(diǎn)的極坐標(biāo)，

由，

可得點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，

點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，

點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

所以得的直線方程為：，

設(shè)點(diǎn)，

則點(diǎn)到直線的距離為

，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

.