Question

4．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)，且（2c-b）cosA=acosB．
（1）求角A的大��；
（2）若a=2，求△ABC面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinC不為0求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)．
（2）利用正弦定理，結(jié)合輔助角公式，表示出面積，即可求△ABC面積S的最大值．

解答 解：（1）利用正弦定理可得（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
則2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，
所以$cosA=\frac{1}{2}$，故$A=\frac{π}{3}$----（5分）
（2）由$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$得$b=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinB，c=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinC$，
所以$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinBsinC=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sinBsin（\frac{2π}{3}-B）$
=$2sinBcosB+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{sin^2}B=\frac{2}{{\sqrt{3}}}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2B-\frac{1}{2}cos2B）+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin（2B-\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵$0＜B＜\frac{2π}{3}，-\frac{π}{6}＜2B-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}＜sin（2B-\frac{π}{6}）≤1，0＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin（2B-\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤\frac{{3\sqrt{3}}}{3}$，
∴△ABC面積S的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{3}$--12分

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．