Question

【題目】已知A，B是橢圓C：)的左右頂點(diǎn)，P點(diǎn)為橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為H，且

（1）若橢圓C經(jīng)過(guò)了圓的圓心，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）在（1）的條件下，拋物線(xiàn)D：的焦點(diǎn)F與點(diǎn)關(guān)于y軸上某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且拋物線(xiàn)D與橢圓C在第四象限交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)D有唯一公共點(diǎn)，求該直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）結(jié)合斜率公式及橢圓C經(jīng)過(guò)了圓的圓心，求出，即可得解；

（2）聯(lián)立拋物線(xiàn)方程及橢圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，結(jié)合，解得，再分別求出橫、縱截距，再求三角形面積即可.

解：（1）設(shè)，因?yàn)?/span>，，

則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

則，，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

又橢圓過(guò)圓的圓心，

所以，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由題意，拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，

故其方程為，

聯(lián)立方程組，解得或（舍去），

所以，

據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，斜率存在且不為，

設(shè)直線(xiàn)方程為，

聯(lián)立方程組，

整理得，

由，解之得，

所以直線(xiàn)方程為.

即是.

令，得；

令，得.

故所求三角形的面積為.