Question

在平面直角坐標系中，點A（1，0）、B（-1，0），已知|CA|=2，BC的垂直平分線l交AC于D，當點C動點時，D點的軌跡圖形設為E．
（1）求E的標準方程；
（2）點P為E上一動點，點O為坐標原點，設|PA|²=1+λ|PO|²，求λ的最大值．

Answer 1

解：（1）．設D（x，y）
∵l是BC的垂直平分線，
∴|DB|=|DC|
∴|DB|+|DA|=|AC|=2＞2=|AB|
∴D點的軌跡圖形E是A，B為焦點的橢圓 （3分）
其中2a=2，c=1，
∴a=，b²=a²-c²=1 （5分）
∴D點的軌跡圖形E： （7分）
（2）設，
則PO²=x²+y²，（8分）
PA²=（x-1）²+y² （9分）
==
（10分）
點P（x，y）滿足，∴，（11分）
λ=1-=1- （12分）
當x≥0時，λ≤1
當x＜0時，設t=-x，則t∈（0，]，λ=1+=1+ （13分）
因為，所以λ≤1+，
當且僅當t=時，即x=-時，λ取得最大值1+． （14分）
分析：（1）．設D（x，y），結合圖象由垂直平分線的性質結合橢圓的定義知，點E的軌跡是橢圓，由定義求出參數(shù)，得出標準方程；
（2）設，得出PO²=x²+y²，PA²=（x-1）²+y²，整理表示出λ，建立關于此參數(shù)的函數(shù)關系式，根據(jù)所得的形式討論最值求λ的最大值
點評：本題考查橢圓的性質，解題的關鍵是熟練掌握橢圓的定義，求了橢圓的方程，第二問中求參數(shù)的最值的問題要注意函數(shù)思想的使用，一般求最值的題都可以把要求的最值表示成相應的函數(shù)，利用所得的函數(shù)解析式求參數(shù)的最值．本題運算量大，符號運算極易出錯，做題時要認真，嚴謹，避免因為運算出錯，導致解題失�。�本題考查了變形的能力，推理的能力以及運算能力，數(shù)形結合的技巧．