設O為坐標原點,曲線x2+y2+2x-6y+1=0上有兩點P、Q,滿足關于直線x+my+4=0對稱,又滿足·=0.

(1)求m的值;

(2)求直線PQ的方程.

解：(1)曲線方程為(x+1)2+(y-3)2=9表示圓心為(-1,3),半徑為3的圓.

    ∵點P、Q在圓上且關于直線x+my+4=0對稱,∴圓心(-1,3)在直線上.代入得m=-1.

    (2)∵直線PQ與直線y=x+4垂直,

    ∴設P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程為y=-x+b.

    將直線y=-x+b代入圓方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.

    Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)＞0,得2-3＜b＜2+3.

    由韋達定理得x1+x2=-(4-b),x1·x2=.

    y1·y2=b2-b(x1+x2)+x1·x2=+4b.

    ∵·=0,

    ∴x1x2+y1y2=0,

    即b2-6b+1+4b=0.

    解得b=1∈(2-3,2+3).

    ∴所求直線方程為y=-x+1.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

曲線C的參數(shù)方程是：
x=1+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)），設O為坐標原點，點M（x0，y0）在C上運動，點P（x，y）是線段OM的中點，則點P軌跡的普通方程為
 

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2
e
2
e
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e，且b，e，
1
3
為等比數(shù)列，曲線y=8-x2恰好過橢圓的焦點．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設雙曲線C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的頂點和焦點分別是橢圓C1的焦點和頂點，設O為坐標原點，點A，B分別是C1和C2上的點，問是否存在A，B滿足
OA
=
1
2
OB
．請說明理由．若存在，請求出直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)二模）已知：曲線C上任意一點到點F
1，0
的距離與到直線x=-1的距離相等．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點F
1，0
作直線交曲線C于M，N兩點，若|MN|長為
16
3
，求直線MN的方程；
（3）設O為坐標原點，如果直線y=k（x-1）交曲線C于A、B兩點，是否存在實數(shù)k，使得
OA
•
OB
=0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

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