Question

（2013•楊浦區(qū)一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩個焦點(diǎn)分別是F₁（-1，0）、F₂（1，0），且焦距是橢圓C上一點(diǎn)p到兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離的等差中項(xiàng)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F₂的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線交y軸于點(diǎn)Q（x₀，y₀），求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定橢圓C的半焦距，再利用焦距是橢圓C上一點(diǎn)p到兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離的等差中項(xiàng)，求出a的值，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程代入橢圓方程，確定線段MN的垂直平分線方程，可得Q的縱坐標(biāo)，利用基本不等式，即可求得y₀的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的半焦距是c．依題意，得c=1．…（1分）
由題意焦距是橢圓C上一點(diǎn)p到兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離的等差中項(xiàng)，得4c=2a，∴a=2
∴b²=a²-c²=3．…（4分）
故橢圓C的方程為 

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（2）解：當(dāng)MN⊥x軸時，顯然y₀=0．…（7分）
當(dāng)MN與x軸不垂直時，可設(shè)直線MN的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
代入橢圓方程，消去y整理得（3+4k²）x²-8k² x+4（k²-3）=0．…（9分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為Q（x₃，y₃），則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

．…（10分）
所以x₃=

4k2

3+4k2

，y₃=k（x₃-1）=

-3k

3+4k2

，
∴線段MN的垂直平分線方程為y+

3k

3+4k2

=-

1

k

（x-

4k2

3+4k2

）．
在上述方程中令x=0，得y₀=

k

3+4k2

=

1

3 k +4k

．…（12分）
當(dāng)k＜0時，

3

k

+4k≤-4

3

；當(dāng)k＞0時，

3

k

+4k≥4

3

．
所以-

3

12

≤y₀＜0，或0＜y₀≤

3

12

．…（13分）
綜上，y₀的取值范圍是[-

3

12

，

3

12

]．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．