Question

已知函數(shù)f（x）=-2x²+ax+b，若a，b都是在區(qū)間[0，4]中任取的一個(gè)數(shù)，則f（1）＞0的概率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積，將f（1）＞0轉(zhuǎn)化為a+b-2＞0，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=-2x²+ax+b，
∴f（1）=-2+a+b，
由f（1）＞0，得-2+a+b＞0，
即a+b-2＞0．
∵a，b都是在區(qū)間[0，4]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，
∴0≤a≤4，0≤b≤4，
可得點(diǎn)M（a，b）所在的區(qū)域是由a=0，a=4，b=0，b=4四條直線圍成的正方形．
設(shè)滿足f（1）＞0的點(diǎn)為N，則N所在的區(qū)域是正方形內(nèi)，且在直線a+b-2=0的上方，
如圖，即五邊形ABCDF的內(nèi)部
∵正方形面積為S=4×4=16，
五邊形ABCDE的面積為S₁=S_正方形-S_△OAF=16-

1

2

×2×2=14，
∴事件“f（1）＞0”的概率為：P=

S1

S

=

14

16

=

7

8

故答案為：

7

8

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)函數(shù)值為正值的概率求法為例，著重考查了用不等式組表示平面區(qū)域和幾何概率的求法等知識(shí)點(diǎn)．