Question

例4．設x，y∈R，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0．

Answer 1

【答案】分析：證明充要條件關鍵是證明其互相推出性，要根據(jù)|x+y|=|x|+|y|證明出xy≥0，也要在xy≥0下證明出|x+y|=|x|+|y|．
解答：證明：充分性：如果xy=0，那么，①x=0，y≠0②x≠0，y=0③x=0，y=0于是|x+y|=|x|+|y|明顯成立．
如果xy＞0即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0
當x＞0，y＞0時，|x+y|=x+y=|x|+|y|，
當x＜0，y＜0時，|x+y|=-x-y=（-x）+（-y）=|x|+|y|，
總之，當xy≥0時，|x+y|=|x|+|y|．
必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x，y∈R
得（x+y）²=（|x|+|y|）²即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²
得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立，
綜上，原命題成立．
故結論成立．
點評：用好絕對值的定義是解決本題的關鍵．注意分類討論思想在解決該題中的運用．