Question

【題目】甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽.若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）先確定局?jǐn)?shù)以及甲的勝負(fù)情況，再分類計(jì)算，最后求概率的和，（2）先確定隨機(jī)變量的取法，再分別求解對(duì)應(yīng)概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.

(1)甲在4局以內(nèi)贏得比賽分三種情況：

第一種情況，比賽2局，甲勝，P1=×=；

第二種情況，比賽3局，甲勝，只能是第1局輸，第2，3局勝，P2=××=；

第三種情況，比賽4局，甲勝，只能是第1局勝，第2局輸，第3，4局勝，

P3=×××=；

所以甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率為P=P1+P2+P3=++=

(2)X可取2，3，4，5這四種情況：

P(X=2)=×+×=；

P(X=3)=××+××=；

P(X=4)=×××+×××=；

P(X=5)=1－P(X=2)－P(X=3)－P(X=4)=；

所以X的分布列是：

X	2	3	4	5
p

均值E(X)=2×+3×+4×+5×=.