Question

如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,7]上是增函數(shù)，且最大值為10，最小值為6，那么f(x)在[－7，－2]上是增函數(shù)還是減函數(shù)？求函數(shù)f(x)在[－7，－2]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：f(x)在[－7，－2]上是增函數(shù)．證明如下：

任取x₁，x₂∈[－7，－2]，且x₁＜x₂，則2≤－x₂＜－x₁≤7.

因?yàn)閒(x)在區(qū)間[2,7]上是增函數(shù)，

所以f(－x₂)＜f(－x₁)．

又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－x₁)＝－f(x₁)，f(－x₂)＝－f(x₂)，

即－f(x₂)＜－f(x₁)，f(x₁)＜f(x₂)．

所以函數(shù)f(x)在[－7，－2]上是增函數(shù)．

于是其最大值為f(－2)＝－f(2)＝－6，最小值為f(－7)＝－f(7)＝－10.

點(diǎn)評(píng)：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它們?cè)陉P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，它們?cè)陉P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性恰好相反．