Question

13．已知直線l₁：2x-y-5=0；直線l₂：x+y-5=0．
（Ⅰ）求點(diǎn)P（3，0）到直線l₁的距離；
（Ⅱ）直線m過點(diǎn)P（3，0），與直線l₁、直線l₂分別交與點(diǎn)M、N，且點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，求直線m的一般式方程； 
（Ⅲ）已知⊙Q是所有過（Ⅱ）中的點(diǎn)M、N的圓中周長最小的圓，求⊙Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點(diǎn)P（3，0）與直線l₁的解析式，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)P到直線l₁的距離即可；
（Ⅱ）由題意設(shè)出直線m的方程，分別與已知兩直線聯(lián)立表示出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出線段MN中點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)縱坐標(biāo)為0求出k的值，即可確定出直線m的一般式方程；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中k的值確定出M與N坐標(biāo)，在所有過M、N的圓中，以線段MN為直徑的圓的周長最小，確定出此時圓Q的圓心與半徑，即可求出圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（Ⅰ）點(diǎn)P（3，0）到直線l₁的距離d=$\frac{|6-0-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）由題意，設(shè)直線m：y=kx-3k，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-5=0}\\{y=kx-3k}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3k-5}{k-2}}\\{y=\frac{k}{k-2}}\end{array}\right.$，即M（$\frac{3k-5}{k-2}$，$\frac{k}{k-2}$），
再由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-5=0}\\{y=kx-3k}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3k+5}{k+1}}\\{y=\frac{2k}{k+1}}\end{array}\right.$，即N（$\frac{3k+5}{k+1}$，$\frac{2k}{k+1}$），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：$\frac{\frac{k}{k-2}+\frac{2k}{k+1}}{2}$=0，解得：k=0或k=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線m的斜率不存在或k=0時皆不滿足題意，舍去，故k=1，
則所求直線方程為y=x-3；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：把k=1分別代入M、N中，得M（2，-1），N（4，1），
在所有過M、N的圓中，以線段MN為直徑的圓的周長最小，
即圓Q的半徑r=$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（2-4）^{2}+（-1-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，圓心Q與點(diǎn)P（3，0）重合，
則圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）²+y²=2．

點(diǎn)評 此題考查了直線與圓方程的應(yīng)用，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識有：直線與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離公式，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，根據(jù)題意得出“在所有過M、N的圓中，以線段MN為直徑的圓的周長”最小是解本題第三問的關(guān)鍵．