Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）ex（a為實數）．
（1）當a=4時，求函數y=g（x）在x=0處的切線方程；
（2）求f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）如果關于x的方程g（x）=2exf（x）在區(qū)間[ ，e]上有兩個不等實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=4時，g（x）=（﹣x2+4x﹣3）ex，g（0）=﹣3．

g′（x）=（﹣x2+2x+1）ex，故切線的斜率為g′（0）=1，

∴切線方程為：y+3=x﹣0，即y=x﹣3

（2）解：f′（x）=lnx+1，

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	單調遞減	極小值（最小值）	單調遞增

①當 時，在區(qū)間（t，t+2）上f（x）為增函數，

∴f（x）min=f（t）=tlnt；

②當 時，在區(qū)間 上f（x）為減函數，在區(qū)間 上f（x）為增函數，

∴

（3）解：由g（x）=2exf（x），可得：2xlnx=﹣x2+ax﹣3， ，

令 ， ．

當x，h（x），h′（x）變化如下：

x		1	（1，e）
h′（x）	﹣	0	+
h（x）	單調遞減	極小值（最小值）	單調遞增

∵ ，h（1）=4，h（e）= ， ．

∴關于x的方程g（x）=2exf（x）在區(qū)間[ ，e]上有兩個不等實根，

則

【解析】（1）把a=4代入函數g（x）的解析式，求出導數，得到g（0）和g′（0），由直線方程的點斜式得切線方程；（2）利用導數求出函數f（x）在[t，t+2]上的單調區(qū)間，求出極值和區(qū)間端點值，比較大小后得到f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2exf（x），分離變量a，然后構造函數 ，由導數求出其在[ ，e]上的最大值和最小值，則實數a的取值范圍可求．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．