Question

4．根據(jù)極限定義證明：函數(shù)f（x）當(dāng)x→x₀時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并相等．

Answer 1

分析 x→x₀，便是指x從x₀的左邊趨向x₀，和x從x₀的右邊趨向x₀，反過(guò)來(lái)x從左邊趨向x₀，和x從右邊趨向x₀，便說(shuō)明x趨向x₀，知道了這點(diǎn)，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在x趨向x₀的極限的定義，和左右極限的定義即可證明出函數(shù)f（x）當(dāng)x→x₀時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并相等．

解答 證明：（1）若函數(shù)f（x）當(dāng)x→x₀時(shí)極限存在，設(shè)$\underset{lim}{x→{x}_{0}}f（x）=a$；
∴x→x₀即：x從左邊趨向x₀，和從右邊趨向x₀時(shí)，f（x）趨向a；
根據(jù)左極限、右極限的定義得：$\underset{lim}{x→{{x}_{0}}^{-}}f（x）=\underset{lim}{x→{{x}_{0}}^{+}}f（x）=a$，即f（x）的左右極限都存在并且相等；
∴函數(shù)f（x）當(dāng)x→x₀時(shí)極限存在的必要條件是左右極限都存在并且相等；
（2）若f（x）的左極限、右極限各自存在并相等，設(shè)$\underset{lim}{x→{{x}_{0}}^{-}}f（x）=\underset{lim}{x→{{x}_{0}}^{+}}f（x）=a$；
∴x從左邊趨向x₀和x從右邊趨向x₀，即x趨向x₀時(shí)，f（x）趨向a；
∴$\underset{lim}{x→{x}_{0}}f（x）=a$，即函數(shù)f（x）當(dāng)x→x₀時(shí)極限存在；
∴函數(shù)f（x）當(dāng)x→x₀時(shí)極限存在的充分條件是左右極限存在且相等；
綜上可得函數(shù)f（x）當(dāng)x→x₀時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并相等．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)f（x）在x趨向x₀時(shí)的極限和f（x）在x₀的左右極限的定義，清楚x趨向x₀的含義，以及充分條件、必要條件，和充要條件的定義．