Question

如圖，是圓的直徑，點在圓上，，交于點，平面，，．

（1）證明：；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的大�。�

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析    （2）二面角的余弦值為

【解析】(I)本小題通過證平面MBF即可.

(2)本小題的關(guān)鍵是作出二面角的平面角．延長交于，連，過作，連結(jié)．證為平面與平面所成的二面角的平面角即可

（法一）（1）平面平面， ．………1分

又，平面而平面

．  ……3分是圓的直徑，．

又，．

平面，，平面．

與都是等腰直角三角形．．

，即（也可由勾股定理證得）．

，  平面．而平面，． 7分

（2）延長交于，連，過作，連結(jié)．

由（1）知平面，平面，．而，

平面．平面，，

為平面與平面所成的二面角的平面角．

在中，，，．

由，得．．2

又，，則．

是等腰直角三角形，．

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．…14分

（法二）（1）同法一，得．

如圖，以為坐標原點，垂直于、、所在直線為軸建立空間直角坐標系．

由已知條件得，

．由，

得， ．  …7分

（2）由（1）知．設(shè)平面的法向量為，

由 得，

令得，，  ……9分由已知平面，所以取面的法向量為，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，

則，

平面與平面所成的銳二面角為