Question

某校要用甲、乙、丙三輛汽車從新校區(qū)把教職工接到老校區(qū)，已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路，汽車走公路①堵車的概率為

1

4

，不堵車的概率為

3

4

；汽車走公路②堵車的概率為

1

3

，不堵車的概率為

2

3

．若甲、乙兩輛汽車走公路①，丙汽車由于其他 原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響．
（Ⅰ）求三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率；
（Ⅱ）求三輛汽車中被堵車輛的個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式求三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率；
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）和P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）記“三輛汽車中恰有一輛汽車被堵”為事件A，…（1分）
則P(A)=

C

1 2

1

4

•

3

4

•

2

3

+(

3

4

)2•

1

3

=

7

16

…（4分）
答：三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為

7

16

．        …（5分）
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3                          …（6分）
P（ξ=0）=

3

4

•

3

4

•

2

3

=

3

8

；P（ξ=1）=

7

16

；P（ξ=2）=

1

4

•

1

4

•

2

3

+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•

1

3

=

1

6

；P（ξ=3）=

1

4

•

1

4

•

1

3

=

1

48

 …（10分）
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	3 8	7 16	1 6	1 48

…（11分）
所以Eξ=0•

3

8

+1•

7

16

+2•

1

6

+3•

1

48

=

5

6

                     …（13分）

點(diǎn)評：本小題主要考查隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用用意識(shí)，考查必然與或然思想等．