Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若兩定點(diǎn)A，B滿足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，則點(diǎn)集{P|

OP

=λ

OA

+μ

OB

，|λ|+|μ|≤2，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是

16

3

．

Answer 1

分析：由兩定點(diǎn)A，B滿足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，說明O，A，B三點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形，設(shè)出兩個定點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由平面向量基本定理，把P的坐標(biāo)用A，B的坐標(biāo)及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤2，去絕對值后可得線性約束條件，畫出可行域可求點(diǎn)集P所表示區(qū)域的面積．

解答：解：由兩定點(diǎn)A，B滿足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，說明O，A，B三點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形．
不妨設(shè)A（

3

，-1），B（

3

，1）．再設(shè)P（x，y）．
由

OP

=λ

OA

+μ

OB

，得：（x，y）=（

3

λ，-λ）+（

3

μ，μ）=（

3

λ+

3

μ，μ-λ）．
所以

λ+μ= 3 3 x μ-λ=y

，解得

λ= 3 6 x- 1 2 y μ= 3 6 x+ 1 2 y

①，
由|λ|+|μ|≤2．
所以①等價于

3 6 x- 1 2 y≥0 3 6 x+ 1 2 y≥0 x≤2 3

或

3 6 x- 1 2 y≥0 3 6 x+ 1 2 y＜0 y≥-2

或

3 6 x- 1 2 y＜0 3 6 x+ 1 2 y≥0 y≤2

或

3 6 x- 1 2 y＜0 3 6 x+ 1 2 y＜0 x≥-2 3

，
可行域如圖中矩形ABCD及其內(nèi)部區(qū)域，

則區(qū)域面積為4×4

3

=16

3

．
故答案為：16

3

．

點(diǎn)評：本題考查了平面向量的基本定理及其意義，考查了二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于讀懂題意，屬中檔題．