Question

（2010•湖北模擬）已知函數F(x)=-

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x4+ax3+

a2+5a-2

2

x2+b．（a，b為常數）
（Ⅰ）當a=1時，F（x）=0有兩個不相等的實根，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若F（x）有三個不同的極值點0，x₁，x₂．a為何值時，能使函數F（x）在x₁（或者x₂）處取得的極值為b？
（Ⅲ）若對任意的a∈[-1，0]，不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，F（x）=0有兩個不相等的實根，即函數F（x）的圖象與x軸有兩個交點，對函數F（x）求導，研究其單調性，得出其圖象變化規(guī)律及函數的極值，判斷出圖象與x軸有兩個交點的情況極小值大于0即可．
（2）能使函數F（x）在x₁（或者x₂）處取得的極值為b，由于極值F（0）=b，由此說明F（x）=b有兩個等根，且x=0必為函數的極大值點，由這兩個條件轉化出等價的條件，求解即可．
（3）對任意的a∈[-1，0]，不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，故依據單調性判斷出函數的最小值，令最小值大于等于-8即可解出參數b的取值范圍．

解答：解：F′（x）=-x³+3ax²+（a²+5a-2）x
（Ⅰ）當a=1時，F′（x）=-x³+3x²+4x=-x（x-4）（x+1）
令F′（x）＞0解得x＜-1或0＜x＜4，令F′（x）＜0解得-1＜x＜0或x＞4
故函數在區(qū)間（-∞，-1）與（0，4）上是增函數，在（-1，0）與（4，+∞）上是減函數
故函數在x=-1時與x=4時取到極大值，在x=0時取到極小值，
故F（-1）=

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4

+b，F（4）=32+b，F（0）=b
∵F（x）=0有兩個不相等的實根，∴b＞0或者

3

4

＜b＜32
（II）由（Ⅰ）知F（0）=b，由F′（x）=-x³+3ax²+（a²+5a-2）x，故x=0為其一個極值點，若欲使得另兩個極值點中的一個的極值也是b，則x=0必為其一個極大值點，且另外一個極值點處的函數值也為b，由F′（x）=-x³+3ax²+（a²+5a-2）x=-x[x²-3ax-（a²+5a-2）]=0，x₁，x₂．必同號，即a²+5a-2＜0   ①
令F（x）=F（0）=b，則(-

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x2+ax +

a2+5a-2

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)x2=0必有兩根，且其一根為0故-

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4

x2+ax +

a2+5a-2

2

=0僅有一根
故△=a2+

a2+5a-2

2

=0，即3a²+5a-2=0解得a=-2或a=

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3

  代入①驗證知，a=-2或a=

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3

 符合題意
故當a=-2或a=

1

3

 時，能使函數F（x）在x₁（或者x₂）處取得的極值為b
（III）∵F′（x）=-x³+3ax²+（a²+5a-2）x=-x[x²-3ax-（a²+5a-2）]，顯然x=0是其一根
令F′（x）=0的另兩根為x₁，x₂，且x₁≤x₂，
∴x₁+x₂=3a，x₁x₂=-（a²+5a-2）
∵a∈[-1，0]，
∴x₁+x₂=3a＜0，x₁x₂=-（a²+5a-2）＞0
∴x₁≤x₂＜0
∵不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，接合上證知
函數F(x)=-

1

4

x4+ax3+

a2+5a-2

2

x2+b在[-2，2]上的最小值為F（2）=-4+8a+2a²+10a-4+b
代入不等式F（x）≥-8得8a+2a²+10a+b≥0，即b≥-2a²-18a，
由于a∈[-1，0]，
∴-2a²-18a≤16
故b≥16

點評：本題考點是研究函數的極值，是函數單調性的綜合應用題，利用導數研究函數的單調性，再由函數的圖象變化規(guī)律確定函數的極值與最值，利用函數的圖象特征將題設的條件等價轉化，本題綜合性較強，難度很大，解題時要注意題設條件的轉化方向，此是正確解答本題的關鍵．