Question

如圖，四邊形ABCD與BDEF 均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求證：FC∥平面EAD；
（2）求證：平面BDEF⊥平面ABCD；
（3）若AB=2，求三棱錐C-AEF的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由菱形性質(zhì)得AD∥BC，DE∥BF，從而平面FBC∥平面EAD，由此能證明FC∥平面EAD．
（2）由已知得△DBF為等邊三角形，從而FO⊥BD，又FA=FC，從而FO⊥AC，由此能證明平面BDEF⊥平面ABCD．
（3）由EF⊥平面AFC，根據(jù)V_C-AEF=V_E-AFC，利用等積法能求出三棱錐C-AEF的體積．

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD與BDEF均為菱形，
∴AD∥BC，DE∥BF，
∴平面FBC∥平面EAD，
又FC?平面FBC，∴FC∥平面EAD．
（2）解：∵四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，
∴△DBF為等邊三角形，
∵O為BD中點，∴FO⊥BD，又FA=FC，
∴FO⊥AC，故FO⊥平面ABCD，
∴平面BDEF⊥平面ABCD．
（3）解：∵EF⊥平面AFC，
∴點E到平面AFC的距離為2，
∴V_C-AEF=V_E-AFC=

1

3

×

6

2

×

6

×2=2．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要注意線面關(guān)系、面面關(guān)系、菱形、等邊三角形性質(zhì)的合理運用．