Question

由三個電子元件j₁，j₂，j₃組成的線路系統(tǒng)如圖所示，每個電子元件能正常工作的概率都是t （0＜t＜1）．
（1）求該線路系統(tǒng)正常工作的概率P；
（2）試問函數(shù)P（t）在區(qū)間（0，1）上是否存在最值？

Answer 1

分析：（1）“該線路系統(tǒng)正常工作”即“線路A、線路B至少一條正常工作”，其對立事件為“線路A、線路B都不能正常工作”，由于各線路能否正常工作相互獨立，“線路A、線路B都不能正常工作”的概率為“線路A不能正常工作”的概率乘以“線路B不能正常工作”的概率．
（2）先求函數(shù)P（t）的導函數(shù)，研究此函數(shù)在區(qū)間（0，1）的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)有無最值

解答：解：（1）記線路A、線路B正常工作的概率分別為P（A）、P（B）
P（A）=P（j₁）P（j₂）=t² P（B）=t
系統(tǒng)正常工作的概率P=1-P(

.

A

) • P(

.

B

)=1-(1-t2)(1-t)=-t3+t2+t
（2）P'（t）=-3t²+2t+1=-（3t+1）（t-1）
∵當0＜t＜1時，P'（t）＞0
∴P（t）在（0，1）上單調(diào)遞增
∴P（t）在開區(qū)間（0，1）上不存在最值

點評：本題綜合考察了獨立事件同時發(fā)生的概率，對立事件的概率，導數(shù)應用等知識，解題時要辨明事件關系，準確判斷