Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設N與M關(guān)于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且

OP

•

OQ

=-

5

3

求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得，4c=b+d+|MF|=b+c+

a2

c

，化簡可得3c²=bc+a³=bc+b²+c²；進而可得b=c，則a=

2

c，計算可得答案．
（2）由（1）中a、b的關(guān)系，設橢圓方程為x²+2y²=2b²，聯(lián)立兩者的方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2b²=0；令其△＞0得，
b²＞

k2

1+2k2

，由根與系數(shù)的關(guān)系，可以表示出

OP

•

OQ

，結(jié)合題意，以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，可得又

|2k|

k2+1

=b，化簡可得b²（k²+1）=4k²，代入

OP

•

OQ

中，解可得k的值，進而可得a、b的值；進而可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項，
則4c=b+d+|MF|=b+c+

a2

c

（

a2

c

＞a＞1），即3c²=bc+a³=bc+b²+c²；
化簡可得，b=c，則a=

2

c，
則e=

2

2

；
（2）設橢圓方程為x²+2y²=2b²，
聯(lián)立

x2+2y2=2b2 y=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2b²=0；
由△＞0得，b²＞

k2

1+2k2

，
且x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁•x₂=

2k2-2b2

1+2k2

，

OP

•

OQ

=

3k2-2b2(1+k2)

1+2k2

=-

5

3

 ①；
又

|2k|

k2+1

=b得b²（k²+1）=4k²，
代入①解得：k²=1；
即b²=2，a²=4；
橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，注意在解題時，聯(lián)立直線與橢圓的方程，一定要令△＞0，并計算k、b的關(guān)系；保證直線與橢圓有兩個不同的交點．