Question

（2009•朝陽(yáng)區(qū)二模）已知雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線(xiàn)與一條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(

4

3

，

2 5

3

)．
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l（不與x軸重合）與雙曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，且直線(xiàn)AM、AN分別交雙曲線(xiàn)C的右準(zhǔn)線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，求證：

AP

•

AQ

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）雙曲線(xiàn)C的右準(zhǔn)線(xiàn)為x=

a2

c

，漸近線(xiàn)為y=±

b

a

x．再由右準(zhǔn)線(xiàn)與一條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(

4

3

，

2 5

3

)，解得a²=4，b²=5，c²=9．由此能求出雙曲線(xiàn)C的方程． 
（Ⅱ）由點(diǎn)F，A的坐標(biāo)分別為（3，0），（-2，0），右準(zhǔn)線(xiàn)為x=

4

3

．知當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(3，

5

2

)，(3，-

5

2

)，則直線(xiàn)AM，AN方程分別為y=

1

2

(x+2)，y=-

1

2

(x+2)，

AP

•

AQ

=(

10

3

，

5

3

)•(

10

3

，-

5

3

)=

25

3

．當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-3）（k≠0），由

x2 4 - y2 5 =1 y=k(x-3)

得（4k²-5）x²-24k²x+36k²+20=0．由此入手也能推導(dǎo)出

AP

•

AQ

=

25

3

．由此能夠證明

AP

•

AQ

為定值．

解答：（Ⅰ）解：雙曲線(xiàn)C的右準(zhǔn)線(xiàn)為x=

a2

c

，漸近線(xiàn)為y=±

b

a

x．
因?yàn)橛覝?zhǔn)線(xiàn)與一條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(

4

3

，

2 5

3

)，
所以

c2=a2+b2 a2 c = 4 3 b a • a2 c = 2 5 3

，
解得a²=4，b²=5，c²=9．
于是，雙曲線(xiàn)C的方程為

x2

4

-

y2

5

=1．            …（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知點(diǎn)F，A的坐標(biāo)分別為（3，0），（-2，0），右準(zhǔn)線(xiàn)為x=

4

3

．
當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(3，

5

2

)，(3，-

5

2

)，
則直線(xiàn)AM，AN方程分別為y=

1

2

(x+2)，y=-

1

2

(x+2)，
令x=

4

3

，得P，Q的坐標(biāo)分別為(

4

3

，

5

3

)，(

4

3

，-

5

3

)，
此時(shí)

AP

•

AQ

=(

10

3

，

5

3

)•(

10

3

，-

5

3

)=

25

3

．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-3）（k≠0），
由

x2 4 - y2 5 =1 y=k(x-3)

，
得（4k²-5）x²-24k²x+36k²+20=0．
因?yàn)橹本�(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，
所以4k²-5≠0，△=24²k⁴-4（4k²-5）（36k²+20）=400（k²+1）＞0，
解得k≠±

5

2

．
設(shè)M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=

24k2

4k2-5

，x1x2=

36k2+20

4k2-5

，
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
則直線(xiàn)AM，AN方程分別為y=

y1

x1+2

(x+2)，y=

y2

x2+2

(x+2)，
令x=

4

3

，得P，Q的坐標(biāo)分別為(

4

3

，

10y1

3(x1+2)

)，(

4

3

，

10y2

3(x2+2)

)，
所以

AP

•

AQ

=(

10

3

，

10y1

3(x1+2)

)•(

10

3

，

10y2

3(x2+2)

)=

100

9

[1+

y1y2

(x1+2)(x2+2)

]
=

100

9

[1+

k2x1x2-3k2(x1+x2)+9k2

x1x2+2(x1+x2)+4

]
=

100

9

[1+

k2( 36k2+20 4k2-5 - 72k2 4k2-5 +9)

36k2+20 4k2-5 + 48k2 4k2-5 +4

]
=

100

9

(1+

-25k2 4k2-5

100k2 4k2-5

)=

25

3

．
所以，

AP

•

AQ

為定值

25

3

．                 …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)，易出錯(cuò)．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．