給出下面四個命題:①“直線a、b為異面直線”的充分非必要條件是:直線a、b不相交;②“直線l垂直于平面α內(nèi)所有直線”的充要條件是:l⊥平面α;③“直線a⊥b”的充分非必要條件是“a垂直于b在平面α內(nèi)的射影”;④“直線α∥平面β”的必要非充分條件是“直線a至少平行于平面β內(nèi)的一條直線”.其中正確命題的個數(shù)是( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
【答案】分析:根據(jù)平面與平面之間的位置關(guān)系及空間中直線與平面之間的位置關(guān)系,我們逐一對已知中的四個命題中進行判斷,結(jié)合充要條件的定義,即可得到結(jié)論.
解答:解:“直線a、b為異面直線”⇒“直線a、b不相交”為真命題,
“直線a、b不相交”⇒“直線a、b為異面直線”為假命題
故:“直線a、b為異面直線”的必要不充分條件是:直線a、b不相交,即①錯誤;
根據(jù)線面垂直的定義,我們易得②正確;
“直線a⊥b”⇒“a垂直于b在平面α內(nèi)的射影”為假命題
“a垂直于b在平面α內(nèi)的射影”⇒“直線a⊥b”也為假命題,
故“直線a⊥b”的不充分也不必要條件是“a垂直于b在平面α內(nèi)的射影”,即③錯誤
“直線α∥平面β”⇒“直線a至少平行于平面β內(nèi)的一條直線”為真命題
但“直線a至少平行于平面β內(nèi)的一條直線”⇒“直線α∥平面β”為假命題,
故“直線α∥平面β”的必要非充分條件是“直線a至少平行于平面β內(nèi)的一條直線”,即④正確
故選B
點評:判斷充要條件的方法是:①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.