Question

已知，函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）若，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，并指出最大值和最小值時相應的x的值．

Answer 1

解：（1）∵，
∴函數(shù)=3sin2x+cos2x=2sin（2x+）（x∈R）
∴T=
令≤2x+≤（k∈Z）
∴
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[]（k∈Z）
（2）由（1）知，f（x）在[]上單調(diào)遞增，在[]上單調(diào)遞減
∴x=時，f（x）有最大值f（）=2
∵f（0）=＞f（）=0
∴x=時，函數(shù)有最小值f（）=0
分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，結合二倍角公式，輔助角公式，化簡函數(shù)，周期利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）由（1）知，f（x）在[]上單調(diào)遞增，在[]上單調(diào)遞減，從而可得函數(shù)的最值．
點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數(shù)的化簡，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，正確化簡函數(shù)是關鍵．