Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx 。
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）與曲線(xiàn)y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線(xiàn)，求a、b的值；
（2）當(dāng)a²=4b時(shí)，求函數(shù)f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（-∞，-1）上的最大值。

Answer 1

解：（1）f（x）=ax²+1（a＞0），
則f'（x）=2ax，k₁=2a，
g（x）=x³+bx，則f'（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）為公共切點(diǎn)，
可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，
代入①式可得：。
（2）由題設(shè)a²=4b，
設(shè)
則，
令h'（x）=0，解得：，；
∵a＞0，
∴，

①若，即a≤2時(shí)，最大值為；
②若，即2＜a＜6時(shí)，最大值為
③若時(shí)，即a≥6時(shí)，最大值為
綜上所述：當(dāng)a∈（0，2]時(shí)，最大值為；
當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，最大值為。