Question

已知A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（

π

2

，

3π

2

）
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+sin2α

1-tanα

的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的運算性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出；
（2）利用數(shù)量積運算、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．

解答： 解：

AC

=(cosα-3， sinα)，

BC

=(cosα，  sinα-3)．
（1）∵|

AC

|=|

BC

|，
∴

(cosα-3)2+sin2α

=

cos2α+(sinα-3)2

．
化簡得：sinα=cosα，∴cosα=1．
又α∈(

π

2

，

3π

2

)，
故α=

5π

4

．
（2）∵

AC

•

BC

=-1，
∴（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，
化簡得：sinα+cosα=

2

3

，
兩邊平方得：2sinαcosα=-

5

9

＜0，
∴α∈(

π

2

，π)，
故sinα-cosα＞0，
而(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=

14

9

，
∴sinα-cosα=

14

3

，

2sin2α+sin2α 1-tanα = 2sinα(sinα+cosα) 1- sinα cosα = 2sinαcosα(sinα+cosα) cosα-sinα = - 5 9 × 2 3 - 14 3 = 5 14 63

點評：本題考查了向量的運算性質(zhì)、數(shù)量積運算、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了計算能力和推理能力，屬于中檔題．