Question

19．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=3，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值；
（2）若存在a∈（2，4]，使得關(guān)于x的方程f（x）=t•f（a）有三個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函數(shù)式，運用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得單調(diào)區(qū)間，求得最大值；
（2）將x分區(qū)間進行討論，去絕對值寫出解析式，求出單調(diào)區(qū)間，將a分區(qū)間討論，求出單調(diào)區(qū)間解出即可．

解答 解：（1）當a=3，x∈[0，4]時，f（x）=x|x-3|+2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，3≤x≤4}\\{5x-{x}^{2}，0≤x＜3}\end{array}\right.$，
可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{5}{2}$]遞增，在（$\frac{5}{2}$，3]上是減函數(shù)，在[3，4]遞增，
則f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{25}{4}$，f（4）=12，
所以f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為f（4）=12．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-a）x，x≥a}\\{-{x}^{2}+（2+a）x，x＜a}\end{array}\right.$，
①當x≥a時，因為a＞2，所以$\frac{a-2}{2}$＜a．
所以f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增．
②當x＜a時，因為a＞2，所以$\frac{a+2}{2}$＜a．
所以f（x）在（-∞，$\frac{a+2}{2}$）上單調(diào)遞增，在[$\frac{a+2}{2}$，a]上單調(diào)遞減．
當2＜a≤4時，知f（x）在（-∞，$\frac{a+2}{2}$]和[a，+∞）上分別是增函數(shù)，
在[$\frac{a+2}{2}$，a]上是減函數(shù)，
當且僅當2a＜t•f（a）＜$\frac{（a+2）^{2}}{4}$時，
方程f（x）=t•f（a）有三個不相等的實數(shù)解．
即1＜t＜$\frac{（a+2）^{2}}{8a}$=$\frac{1}{8}$（a+$\frac{4}{a}$+4）．
令g（a）=a+$\frac{4}{a}$，g（a）在a∈（2，4]時是增函數(shù)，
故g（a）_max=5．
∴實數(shù)t的取值范圍是（1，$\frac{9}{8}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的最值，函數(shù)單調(diào)性的證明，滲透了分類討論思想，綜合性較強，是較難的一道題．