Question

【題目】某綜藝頻道舉行某個(gè)水上娛樂游戲，如圖，固定在水面上點(diǎn)處的某種設(shè)備產(chǎn)生水波圈，水波圈生產(chǎn)秒時(shí)的半徑（單位： ）滿足； 是鋪設(shè)在水面上的浮橋，浮橋的寬度忽略不計(jì)，浮橋兩端固定在水岸邊.游戲規(guī)定：當(dāng)點(diǎn)處剛產(chǎn)生水波圈時(shí)，游戲參與者（視為一個(gè)點(diǎn)）與此同時(shí)從浮橋的端跑向端；若該參與者通過浮橋的過程中，從點(diǎn)處發(fā)出的水波圈始終沒能到達(dá)此人跑動時(shí)的位置，則認(rèn)定該參與者在這個(gè)游戲中過關(guān)；否則認(rèn)定在這個(gè)游戲中不過關(guān)，已知， ，浮橋的某個(gè)橋墩處點(diǎn)到直線的距離分別為，且，若某游戲參與者能以的速度從浮橋端勻速跑到端.

（1）求該游戲參與者從浮橋端跑到端所需的時(shí)間？

（2）問該游戲參與者能否在這個(gè)游戲中過關(guān)？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)，由，解得或（舍）.求得直線的方程為，與聯(lián)立可得，求得AB,進(jìn)而可得所需時(shí)間；

（2）求得時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，其中. ， .構(gòu)造函數(shù) ，求導(dǎo)計(jì)算可得時(shí)， 恒成立，所以該參與者在這個(gè)游戲中過關(guān).

試題解析：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，

直線的方程為.

設(shè)，由，解得或.

當(dāng)時(shí)， ，符合；

當(dāng)時(shí)， ，不符合.

所以，直線的方程為.

由解得即.

所以.

所以，該游戲參與者從浮橋端跑到端所需的時(shí)間為.

（2）在中， ， .

設(shè)時(shí)，該參與者位于點(diǎn)，則， .

則時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，其中.

， .

令 ，

則

時(shí)， 在上為增函數(shù)，

時(shí)， 在上為減函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)， 取得最大值.

由于，所以時(shí)， 恒成立.

即該游戲參與者通過浮橋的過程中，從點(diǎn)處發(fā)出的水波圈始終沒能到達(dá)此人跑動時(shí)的位置，所以該參與者在這個(gè)游戲中過關(guān).

點(diǎn)晴：本題考查的是函數(shù)模型的應(yīng)用。解決函數(shù)模型應(yīng)用的解答題，要注意以下幾點(diǎn)：①讀懂實(shí)際背景，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型．②對涉及的相關(guān)公式，記憶要準(zhǔn)確．③在求解的過程中計(jì)算要正確.另外需要熟練掌握求解方程、不等式、函數(shù)最值的方法，才能快速正確地求解．