Question

已知f（x）=lnx+x²-bx．
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）當(dāng)b=-1時(shí)，設(shè)g（x）=f（x）-2x²，求證函數(shù)g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

（1）解：∵f（x）在（0，+∞）上遞增，
∴f′（x）=+2x-b≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x對x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（+2x）_min　（x＞0），
∵x＞0，
∴+2x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取“=”，∴b≤2，
∴b的取值范圍為（-∞，2]．
（2）證明：當(dāng)b=-1時(shí)，g（x）=f（x）-2x²=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
∴g′（x）=-2x+1=-，
令g′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x≠1時(shí)，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=0．
∴函數(shù)g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．
分析：（1）其導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在（0，+∞）上遞增，可得f′（x）≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，分離參數(shù)，即可求得b的取值范圍；
（2）當(dāng)b=-1時(shí)，g（x）=f（x）-2x²=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，確定合適的單調(diào)性，利用當(dāng)x≠1時(shí)，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=0，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，分離參數(shù)，確定函數(shù)的最小值．