Question

（2006•東城區(qū)二模）已知橢圓M的兩個焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），P是此橢圓上的一點(diǎn)，且

PF1

•

PF2

=0，

|PF1|

•

|PF2|

=8．
（1）求橢圓M的方程；
（2）點(diǎn)A是橢圓M短軸的一個端點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)大于零，B、C是橢圓上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，若△ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，求直線BC的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)|

PF1

|=m，|

PF2

| =n，由

m2+n2=4 mn=8 m+n=2a

，能求出橢圓M的方程．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（0，2），由重心公式，得

x1+x2=3 y1+y2+2=0

，由此能求出直線BC的方程．

解答：解：（1）設(shè)|

PF1

|=m，|

PF2

| =n，
由

m2+n2=4 mn=8 m+n=2a

，
∴a=

5

，c=1，b=2，
∴

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（0，2），
由重心公式，得

x1+x2=3 y1+y2+2=0

，
∴線段BC的中點(diǎn)為D（

3

2

，-1），
將點(diǎn)B，C代入橢圓方程，再相減，
得

(x1+x2)(x1-x2)

5

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0，
∴k=

6

5

，
由點(diǎn)斜式得6x-5y-14=0．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．