Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+（1-a）x+1．
（1）若y=xf（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若a≤0，求y=f（x）在區(qū)間[4，6]上的最小值g（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)y=xf（x）為奇函數(shù)的定義判斷出f（x）為偶函數(shù)，求出a的值．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷對稱軸，與區(qū)間的位置關(guān)系，分類討論解決．

解答： 解：（1）∵y=xf（x）為奇函數(shù)
∴xf（x）=-[（-x）f（-x）]
即xf（x）=xf（-x），
f（x）=f（-x），
故f（x）為偶函數(shù)，
即1-a=0，
故a=1
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x+1，
∵f（x）在區(qū)間[4，6]上，
∴f（x）_min=4+1=5，
當(dāng)a＜0時(shí)，對稱軸x=-

1-a

2a

，
①-

1-a

2a

＜5時(shí)，即a＜-

1

9

時(shí)．
f（x）_min=f（6）=30a+7
②①-

1-a

2a

≥5時(shí)，-

1

9

≤a＜0時(shí)，
f（x）_min=f（4）=12a+5，
綜上：g（a）=

12a+5，- 1 9 ≤a≤0 30a+7，a＜- 1 9

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性，對稱性，單調(diào)性，最值，融合了二次函數(shù)的常見的題型考法，難度不大．