Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其首項(xiàng)a₁=1，公比為2；數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)b₁=1，公差為d，且其前n項(xiàng)的和S_n滿足S₇=14S₂；
（I）求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)的和T_n；
（II）在數(shù)列{a_n}（n=1，2，3，4）中任取一項(xiàng)a_i，在數(shù)列{b_n}（1，2，3，4）中任取一項(xiàng)b_k，試求滿足a_i²+b_i²≤81的概率．

Answer 1

分析：（I）由題意得a_n=2^n-1，b_n=1+（n-1）d，由S₇=14S₂，得d=3，由此能求出數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)的和T_n；
（II）a_i=2^i-1，i為1，2，4，8；b_k=3k-2，i為1，4，7，10．有序?qū)崝?shù)對(duì)（a_i，b_k）共有16個(gè)，分類討論知滿足題意的點(diǎn)共11個(gè)，由此能求出滿足a_i²+b_i²≤81的概率．

解答：解：（I）由題意得：a_n=2^n-1，b_n=1+（n-1）d，由S₇=14S₂，得d=3
∴Tn=

1-2n

1-2

+

n(3n-1)

2

 =2n+

3

2

n2-

1

2

n-1
（II）a_i=2^i-1，i為1，2，4，8；b_k=3k-2，i為1，4，7，10
有序?qū)崝?shù)對(duì)（a_i，b_k）共有16個(gè)，
當(dāng)a₁=1時(shí)，b_k取1，4，7共3個(gè)；當(dāng)a₂=2時(shí)，b_k取1，4，7共3個(gè)
當(dāng)a₃=4時(shí)，b_k取1，4，7共3個(gè)；當(dāng)a₄=8時(shí)，b_k取1，4共2個(gè)；
滿足題意的點(diǎn)共11個(gè)，所求的概率為

11

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．