Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]，a為常數(shù)．
（1）用g（x）表示f（x）的最小值，求g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整數(shù)m，使得g（a）-m≤0對于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的對稱軸，討論a的范圍，求出二次函數(shù)的最小值，求g（a）的解析式；
（2）判斷存在，利用g（a）的單調(diào)性，求出g（a）的最小值，然后求解m的值．

解答 解：（1）對稱軸 x=-a，
①當(dāng)-a＜0即a＞0 時，函數(shù)f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]上是增函數(shù)，
當(dāng)x=0 時有最小值 f（0）=-a-1                             …2分
②當(dāng)-a≥2即a≤-2  時，函數(shù)f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]上是減函數(shù)，
x=2時有最小值，f（2）=3a+3                                …4分
③當(dāng)0＜-a＜2即-2＜a＜0 時，函數(shù)f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]上是不單調(diào)，
x=-a時有最小值 f（-a）=-a²-a-1                     …6分
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}-a-1，a≥0\\-{a}^{2}-a-1，-2＜a＜0\\ 3a+3，a≤-2\end{array}\right.$…8分
（2）存在，由題知g（a）在（-∞，$-\frac{1}{2}$）是增函數(shù)，在[$-\frac{1}{2}$，+∞）是減函數(shù)
a=$-\frac{1}{2}$時，g（a）_max=-$\frac{3}{4}$…10分
g（a）-m≤0恒成立，可得g（a）_max≤m，∴$m≥-\frac{3}{4}$…12分，
∵m為整數(shù)，∴m的最小值為0 …13分

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查分類討論、計算能力．