Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c
（Ⅰ）當b=1時，若函數(shù)f（x）在（0，1]上為增函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點O對稱，在點P（x，f（x））處的切線為l，l與函數(shù)f（x）的圖象交于另一點Q（x₁，y₁）．若P，Q在x軸上的射影分別為P₁、Q₁，=λ，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）在（0，1]上為增函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)大于等于零在（0，1]上恒成立，再轉(zhuǎn)化為最值法求解．
（Ⅱ）由已知可得函數(shù)為奇函數(shù)，可求得a，c，再由“在點P（x，f（x））處的切線為l”確定切線方程，與函數(shù)f（x）聯(lián)立得x³+bx-[（3x²+b）（x-x）+y]=0．再由y=f（x）=x³+bx，消元解得x．再代入，求解結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）∵b=1，∴f'（x）=3x²+2ax+1．
又因為函數(shù)f（x）在（0，1]上為增函數(shù)，
∴3x²+2ax+1≥0在（0，1]上恒成立，等價于在（0，1]上恒成立．
又∵，
故當且僅當時取等號，而，∴a的最小值為．（6分）

（Ⅱ）由已知得：函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c為奇函數(shù)，
∴a=0，c=0，∴f（x）=x³+bx，（7分）∴f'（x）=3x²+b．
∵切點為P（x，y），其中y=f（x），
則切線l的方程為：y=（3x²+b）（x-x）+y（8分）
由，得x³+bx-[（3x²+b）（x-x）+y]=0．
又y=f（x）=x³+bx，∴x³-x³+b（x-x）-（3x²+b）（x-x）=0，
∴（x-x）（x²+xx-2x²）=0，∴（x-x）²（x+2x）=0，∴x=x或x=-2x，
由題意知，x≠0從而x₁=-2x．
∵，
∴x₁=λx，
∴λ=-2．（12分）
點評：本題主要通過單調(diào)性的應(yīng)用來考查恒成立問題，這類問題往往又要轉(zhuǎn)化為單調(diào)性求新函數(shù)最值來解決，還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，來解決直線與曲線的位置關(guān)系．