Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為

2

的正方形，EC⊥平面CDAB，EF∥CA，點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn)，CE=EF=1．
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求證：CF⊥平面BDE；
（3）求二面角A-BE-D的大小．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則DO=BO=

1

2

BD，連接EO，則可證出四邊形EFAO是平行四邊形，從而AF∥EO，由線面平行的判定定理，可得AF∥平面BDE；
（2）連接FO，可證明四邊形CEFO是正方形，可得對角線CF⊥EO．可證ED=EB又OD=OB，所以EO⊥BD，從而可證明CF⊥平面BDE．也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩直線垂直與兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零的關(guān)系來證明．
（3）通過可以建立空間直角坐標(biāo)系，先求出二面角的兩半平面的法向量的夾角，進(jìn)而即可求出二面角的平面角．

解答：解：（1）連接EO，∵正方形ABCD的邊長為

2

，∴其對角線AC=2．
∵EF∥CO，且EF=1，AO=

1

2

AC=1，
∴四邊形AOEF為平行四邊形，∴AF∥OE．
又∵EO?平面BDE，AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE．
（2）證法一：連接OF，∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥CO，EC⊥CD，EC⊥DB．
又∵EF∥CO，CE=EF=CO=1，∴四邊形CEFO是正方形，∴CF⊥EO．
又∵CD=CB=

2

，∴DE=BE．
∵O是BD的中點(diǎn)，∴EO⊥BD．
∵EC∩EO=E，∴DB⊥平面CEFO，∴DB⊥CF．
而EO∩BD=O，∴CF⊥平面BDE．
證法二：由已知條件建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
可知C（0，0，0），A（

2

，

2

，0），B（0，

2

，0），D（

2

，0，0），E（0，0，1），F(xiàn)(

2

2

，

2

2

，1)．
∴

CF

=(

2

2

，

2

2

，1)，

BE

=(0，-

2

，1)，

DE

=(-

2

，0，1)．
∵

CF

•

BE

=0-1+1=0，∴CF⊥BE；
∵

CF

•

DE

=-1+0+1=0，∴CF⊥DE．
∵BE∩DE=E，∴CF⊥平面BDE．
（3）設(shè)平面BDE的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，∴

n1

•

BE

=0，

n1

•

DE

=0，
得

- 2 y1+z1=0 - 2 x1+z1=0

，令z1=

2

，則y₁=1，x₁=1，∴

n1

=(1，1，

2

)．
設(shè)平面ABE的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，∵

AE

=(-

2

，-

2

，1)，

AB

=(-

2

，0，0)，
∴

n2

•

AE

=-

2

x2-

2

y2+z2=0，

n2

•

AB

=-

2

x2=0．
∴x₂=0．令z2=

2

，則y₂=1，∴

n2

=(0，1，

2

)．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

0+1+2

4 × 3

=

3

2

．∴＜

n1

，

n2

＞=

π

6

．
由圖可知二面角A-BE-D的平面角為

π

6

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了線面的平行、垂直及二面角的平面角，熟練掌握判定定理和性質(zhì)定理及通過建立空間直角坐標(biāo)系利用數(shù)量積等于0與垂直的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．