Question

【題目】如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD=AB，∠ABC=60°，將三角形ABD沿BD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的投影G落在BD上．
（1）求證：平面ACD⊥平面ABD；
（2）求二面角G﹣AC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，AD=CD=AB，∠ABC=60°，∴∠BAD=120°，從而∠ABD=∠ADB=30°，可得∠BDC=90°，

在三棱錐A﹣BCD中，∵點(diǎn)A在平面BCD上的投影G落在BD上，∴AG⊥BD，于是G為BD中點(diǎn)．

∵ ∴CD⊥面ABD，又CD面ADC，∴平面ACD⊥平面ABD

（2）解：由（1）得AG⊥面BCD，且G為BD中點(diǎn)，CD⊥面ABD，

取BC中點(diǎn)M，則MG∥CD，于是以G為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系G﹣xyz，

設(shè)AB=1，則BD= ，BC=2，CD=1，于是A（0，0， ），B（ ，0，0）．，C（﹣ ，1，0），D（﹣ ，0，0）

， ．

設(shè)面AGC的法向量為 ，由 ，取 ，

設(shè)面ADC的法向量為 ，由 ，取

cos＜ ， ＞= ．

二面角G﹣AC﹣D的平面角的余弦值為

【解析】（1）在等腰梯形ABCD中，可得∠ABD=∠ADB=30°，∠BDC=90°，在三棱錐A﹣BCD中，由點(diǎn)A在平面BCD上的投影G落在BD上，得CD⊥面ABD，又CD面ADC，即平面ACD⊥平面ABD；（2）取BC中點(diǎn)M，則MG∥CD，于是以G為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系G﹣xyz，設(shè)AB=1，則BD= ，BC=2，CD=1，于是A（0，0， ），B（ ，0，0），C（﹣ ，1，0），D（﹣ ，0，0），利用法向量求解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．