設(shè)函數(shù)f（x）=lg（x+
x2+1
）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給予證明；
（2）證明函數(shù)f（x）在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)；
（1）它是奇函數(shù)．
由
x+
x2+1
＞0
x2+1≥0
得x∈R，
即所給函數(shù)的定義域?yàn)镽，顯然它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又∵f(-x)=lg(-x+
x2+1
)=lg(x+
x2+1
)-1=-lg(x+
x2+1
)=-f(x)
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=lg
x1+
x12+1
x2+
x22+1
．
令t=x+
x2+1
，則t1-t2=（x1+
x12+1
）-（x2+
x22+1
）
=（x1-x2）+（
x12+1
-
x22+1
）=（x1-x2）+
(x1-x2)(x1+x2)   
x12+1
+
x22+1
．

=
(x1-x2)(
x12+1
+
x22+1
+x1+x2)     
x12+1
+
x22+1

∵x1-x2＜0，
x12+1
+x1＞0，
x22+1
+x2，
x12+1
+
x22+1
＞0，
∴t1-t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴0＜
t1
t2
＜1，
∴f（x1）-f（x2）＜lg1=0，即f（x1）＜f（x2），
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
lg|x|，(x＜0)
2x-1，(x≥0)
，若f（x0）＞0則x0取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-1）∪（1，+∞）
B、（-∞，-1）∪（0，+∞）
C、（-1，0）∪（0，1）
D、（-1，0）∪（0，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lg（x2+ax-a-1），給出下述命題：①f（x）有最小值；②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的值域?yàn)镽；③若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥-4．則其中正確的命題的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

24、關(guān)于x的不等式lg（|x+3|-|x-7|）＜m．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，解此不等式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），當(dāng)m為何值時(shí)，f（x）＜m恒成立？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lg（x2+ax-a），若f（x）的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是
（-∞，-4]∪[0+∞）
（-∞，-4]∪[0+∞）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

現(xiàn)有下列命題：
①設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，若a2-b2=1，則a-b＜1；
②△ABC若acosA=bcosB，則△ABC是等腰三角形；
③數(shù)列{n（n+4）（
2
3
）n中的最大項(xiàng)是第4項(xiàng)；
④設(shè)函數(shù)f（x）=
lg|x-1|，x≠1
0，x=1
則關(guān)于x的方程f2（x）+2f（x）=0有4個(gè)解；
⑤若sinx+siny=
1
3
，則siny-cos2x的最大值是
4
3
．
其中的真命題有
①③
①③
．（寫出所有真命題的編號(hào)）．

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