Question

已知函數(shù)，函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若a=1，求g（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在第（2）問(wèn)求出的實(shí)數(shù)a的范圍內(nèi)，若存在一個(gè)與a有關(guān)的負(fù)數(shù)M，使得對(duì)任意x∈[M，0]時(shí)|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相應(yīng)的a值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（2）先用函數(shù)f（x）的表達(dá)式表示出來(lái)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)得-（x₁-x₂）²＜0，由此式即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）本小題可以從a的范圍入手，考慮0＜a＜2與a≥2兩種情況，結(jié)合二次的象與性質(zhì)，綜合運(yùn)用分類(lèi)討論思想與數(shù)形結(jié)合思想求解．
解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=x³+2x²-2x，g′（x）=x²+4x-2 …（1分）
由g′（x）＜0解得-2-＜x＜-2+        …（2分）
∴當(dāng)a=1時(shí)函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為 （-2-，2+）；…（3分）
（2）易知f（x）=g′（x）=x²+4x-2
依題意知  =a（）²+4×-2-
=-（x₁-x₂）²＜0 …（5分）
因?yàn)閤₁≠x₂，所以a＞0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）；…（6分）
（3）易知f（x）=ax²+4x-2=a（x+）²-2-，a＞0．
顯然f（0）=-2，由（2）知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=-＜0    …（7分）
①當(dāng)-2-＜-4即0＜a＜2時(shí)，M∈（-，0）且f（M）=-4
令ax²+4x-2=-4解得  x=        …（8分）
此時(shí)M取較大的根，即M==…（9分）
∵0＜a＜2，∴M==＞-1     …（10分）
②當(dāng)-2-≥-4即a≥2時(shí)，M＜-且f（M）=4
令ax²+4x-2=4解得 x=            …（11分）
此時(shí)M取較小的根，即 M==…（12分）
∵a≥2，∴M==≥-3當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào)  …（13分）
由于-3＜-1，所以當(dāng)a=2時(shí)，M取得最小值-3  …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．