【題目】已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上, 的中心和的頂點均為原點,平面上四個點, , , 中有兩個點在橢圓上,另外兩個點在拋物線上.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在直線滿足以下條件:①過的焦點;②與交于兩點,且以為直徑的圓經(jīng)過原點.若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)或
【解析】試題分析:(1)由題意,易知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)設(shè)直線的方程為, ,利用韋達定理,得到直線的方程。
試題解析:
(1)設(shè)拋物線,則有
據(jù)此驗證四個點知, 在拋物線上,
易得,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
設(shè)橢圓,把點, 代入可得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)以為直徑的圓經(jīng)過原點,則
的焦點. 當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為
直線交橢圓于點 ,不滿足題意
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,
由,消去得
于是①
由得 ②
將①代入②式,得 解得
所以存在直線滿足條件,且的方程為或.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,圓心為,定點, 為圓上一點,線段上一點滿足,直線上一點,滿足.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)為坐標(biāo)原點, 是以為直徑的圓,直線與相切,并與軌跡交于不同的兩點.當(dāng)且滿足時,求面積的取值范圍.
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【題目】一裝有水的直三棱柱ABC-A1B1C1容器(厚度忽略不計),上下底面均為邊長為5的正三角形,側(cè)棱為10,側(cè)面AA1B1B水平放置,如圖所示,點D、E、F、G分別在棱CA、CB、C1B1、C1A1上,水面恰好過點D,E,F,C,且CD=2
(1)證明:DE∥AB;
(Ⅱ)若底面ABC水平放置時,求水面的高
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【題目】設(shè)橢圓: 的左、右焦點分別為,上頂點為A,過點A與垂直的直線交軸負半軸于點,且,若過, , 三點的圓恰好與直線相切.過定點的直線與橢圓交于, 兩點(點在點, 之間).
(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)若實數(shù)滿足,求的取值范圍.
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【題目】已知向量, ,且滿足.
(1)求點的軌跡方程所代表的曲線;
(2)若點, , 是曲線上的動點,點在直線上,且滿足, ,當(dāng)點在上運動時,求點的軌跡方程.
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【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,曲線C的參數(shù)方程為 (是參數(shù),0≤≤π),以O(shè) 為極點,以x 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線C 的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)直線l1,的極坐標(biāo)方程是2psin(θ+)+=0,直線l2:θ =與曲線C的交點為P,與直線l1的交點為Q,求線段PQ的長.
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【題目】已知橢圓: 的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切. 、是橢圓的右頂點與上頂點,直線與橢圓相交于、兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)四邊形面積取最大值時,求的值.
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【題目】函數(shù)f(x)=aln x+bx2圖象上點P(1,f(1))處的切線方程為2x-y-3=0.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+m-ln 4在上恰有兩個零點,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前項和為,,,是等比數(shù)列,,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前10項和.
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