若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn+an=2n(n∈N*)．
（1）證明：數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn．
分析：（1）利用當n≥2時，an=Sn-Sn-1，可得，2an-an-1=2，變形為2（an-2）=an-1-2，可得數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列；
（2）利用（1）可得an，利用已知Sn+an=2n可得Sn，再利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．
解答：解：（1）∵Sn+an=2n，①
∴Sn-1+an-1=2（n-1），n≥2②
由①-②得，2an-an-1=2，n≥2，∴2（an-2）=an-1-2，n≥2，
∵a1-2=-1，
∴數(shù)列{an-2}以-1為首項，
1
2
為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）得an-2=-(
1
2
)n-1，∴an=2-(
1
2
)n-1，
∵Sn+an=2n，∴Sn=2n-an=2n-2+(
1
2
)n-1，
∴Tn=[0+(
1
2
)0]+[2+(
1
2
)]+…+[2n-2+(
1
2
)n-1]
=[0+2+…+(2n-2)]+[(
1
2
)0+(
1
2
)+…+(
1
2
)n-1]
=
n(2n-2)
2
+
1-(
1
2
)n
1-
1
2
=n2-n+2-(
1
2
)n-1．
點評：本題考查了經(jīng)過變形轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列、等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n∈N*）都在函數(shù)y=log
12
x的圖象上．
（Ⅰ）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求證數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=1-2-n，過點Pn，Pn+1的直線與兩坐標軸所圍成三角形面積為cn，求使cn≤t對n∈N*恒成立的實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以下有四種說法：
（1）若p∨q為真，p∧q為假，則p與q必為一真一假；
（2）若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2+n+1，n∈N*，則an=2n，n∈N*；
（3）若f′（x0）=0，則f（x）在x=x0處取得極值；
（4）由變量x和y的數(shù)據(jù)得到其回歸直線方程l： 
y
=bx+a，則l一定經(jīng)過點P(
.
x
， 
.
y
)．
以上四種說法，其中正確說法的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則下列命題：
（1）若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則數(shù)列{Sn}也是遞增數(shù)列；
（2）數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)；
（3）若{an}是等差數(shù)列（公差d≠0），則S1•S2…Sk=0的充要條件是a1•a2…ak=0．
（4）若{an}是等比數(shù)列，則S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N）的充要條件是an+an+1=0．
其中，正確命題的個數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且有4Sn=an2+4n-1，n∈N*，
（1）求a1的值；
（2）求證：(an-2)2-an-12=0(n≥2)；
（3）求出所有滿足條件的數(shù)列{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點（x，y）是區(qū)域
x+2y≤2n
x≥0
y≥0
，（n∈N*）內(nèi)的點，目標函數(shù)z=x+y，z的最大值記作zn．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且點（Sn，an）在直線zn=x+y上．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn．

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