Question

15．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx與g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），其中f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅰ） 求實數(shù)k的值；
（Ⅱ） 求函數(shù)g（x）的定義域；
（Ⅲ） 若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）令f（-x）=f（-x）恒成立，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)解出k；
（II）令a•2^x-$\frac{4}{3}$a＞0，對a進行討論得出x的范圍；
（III）令f（x）=g（x），使用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，令2^x=t，則關于t的方程只有一正數(shù)解，對a進行討論得出a的范圍．

解答 解：（I）f（x）的定義域為R，
∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）恒成立，
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx恒成立，
∴l(xiāng)og₄$\frac{{4}^{-x}+1}{{4}^{x}+1}$=2kx，即log₄$\frac{1}{{4}^{x}}$=2kx，
∴4^2kx=4^-x，∴2k=-1，即k=-$\frac{1}{2}$．
（II）由g（x）有意義得a•2^x-$\frac{4}{3}a$＞0，即a（2^x-$\frac{4}{3}$）＞0，
當a＞0時，2^x-$\frac{4}{3}$＞0，即2^x＞$\frac{4}{3}$，∴x＞log₂$\frac{4}{3}$，
當a＜0時，2^x-$\frac{4}{3}$＜0，即2^x＜$\frac{4}{3}$，∴x＜log₂$\frac{4}{3}$．
綜上，當a＞0時，g（x）的定義域為（log₂$\frac{4}{3}$，+∞），
當a＜0時，g（x）的定義域為（-∞，log₂$\frac{4}{3}$）．
（III）令f（x）=g（x）得log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}a$），
∴l(xiāng)og₄$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}a$），即2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$=a•2^x-$\frac{4}{3}a$，
令2^x=t，則（1-a）t²+$\frac{4}{3}$at+1=0，
∵f（x）與g（x）的圖象只有一個交點，
∴f（x）=g（x）只有一解，∴關于t的方程（1-a）t²+$\frac{4}{3}$at+1=0只有一正數(shù)解，
（1）若a=1，則$\frac{4}{3}t$+1=0，t=-$\frac{3}{4}$，不符合題意；
（2）若a≠1，且$\frac{16}{9}{a}^{2}$-4（1-a）=0，即a=$\frac{3}{4}$或a=-3．
當a=$\frac{3}{4}$時，方程（1-a）t²+$\frac{4}{3}$at+1=0的解為t=-2，不符合題意；
當a=-3時，方程（1-a）t²+$\frac{4}{3}$at+1=0的解為t=$\frac{1}{2}$，符合題意；
（3）若方程（1-a）t²+$\frac{4}{3}$at+1=0有一正根，一負根，則$\frac{1}{1-a}$＜0，∴a＞1，
綜上，a的取值范圍是{a|a＞1或a=-3}．

點評 本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．